Мастер клас

"Числовые последовательности вокруг нас"

Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая (приводим ее в вольной передаче):

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность y. Тогда

доля первого х доля второго х + у доля третьего х + 2y доля четвертого х + 3y доля пятого х + 4y.

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))= (х+2у)+(х+3у)+(х+4у)

После упрощений первое уравнение получает вид

x + 2y = 20,

а второе:

11х = 2y.

Решив эту систему, получаем:

x = 1 2/3, y = 9 1/6.

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Как быстро распространяются городские слухи?

Условие задачи В городе 50000 жителей.Приезжий в 8 часов утра рассказывает новость трём соседям,через 15 минут каждый из них рассказывает новость трём своим соседям и т.д.Во сколько часов эта новость будет известна половине жителей города?
1 способ решения задачи:

Время	Количество людей
8.15 8.30 8.45 9.00 9.15 9.30 9.45 10.00 10.15	4=1+3 13=4+3*3 40=13+3*9 121=40+3*27 364=121+3*81 1093=364+3*243 3280=1093+3*792 9841=3280+3*2187 29524=9841+3*6561

Числа Фибоначи

Последовательность Фибоначчи- ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:

Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.